Уроки математики: почему нельзя делить на ноль. Открытый урок по математике «Умножение числа нуль и на нуль. Деление нуля Если умножить на 0 сколько будет

20.03.2023

Класс: 3

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель:

Ввести частные случаи умножения с 0 и 1.
Закрепить смысл умножения и переместительное свойство умножения, отрабатывать вычислительные навыки.
Развивать внимание, память, мыслительные операции, речь, творческие способности, интерес к математике.

Оборудование: Слайдовая презентация: Приложение1.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сегодня у нас необычный день. На уроке присутствуют гости. Порадуйте меня, друзей, гостей своими успехами. Откройте тетради, запишите число, классная работа. На полях отметьте свое настроение в начале урока. Слайд 2.

Устно весь класс повторяет таблицу умножения на карточках с проговариванием вслух (неправильные ответы дети отмечают хлопками).

Физкультминутка (“Мозговая гимнастика”, “Шапка для размышления”, на дыхание).

2. Постановка учебной задачи.

2.1. Задания на развитие внимания.

На доске и на столе у детей двухцветная картинка с числами:

– Что интересного в записанных числах? (Записаны разными цветами; все “красные” числа – четные, а “синие” – нечетные.)
– Какое число лишнее? (10 – круглое, а остальные нет; 10 – двузначное, а остальные однозначные; 5 – повторяется два раза, а остальные – по одному.)
– Закрою число 10. Есть ли лишнее среди остальных чисел? (3 – у него нет пары до 10, а у остальных есть.)
– Найдите сумму всех “красных” чисел и запишите ее в красном квадрате. (30.)
– Найдите сумму всех “синих” чисел и запишите ее в синем квадрате. (23.)
– На сколько 30 больше, чем 23? (На 7.)
– На сколько 23 меньше, чем 30? (Тоже на 7.)
– Каким действием искали? (Вычитанием.) Слайд 3.

2.2. Задания на развитие памяти и речи. Актуализация знаний.

а) – Повторите по порядку слова, которые я назову: слагаемое, слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность. (Дети пытаются воспроизвести порядок слов.)
– Компоненты каких действий назвали? (Сложение и вычитание.)
– С каким действием вы еще знакомы? (Умножение, деление.)
– Назовите компоненты умножения. (Множитель, множитель, произведение.)
– Что обозначает первый множитель? (Равные слагаемые в сумме.)
– Что обозначает второй множитель? (Число таких слагаемых.)

Запишите определение умножения.

a + a +… + a = аn

б) – Рассмотрите записи. Какое задание будете выполнять?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
а + а + а

(Заменить сумму произведением.)

Что получится? (В первом выражении 5 слагаемых, каждый из которых равен 12, поэтому оно равно 12 5. Аналогично – 33 4, а 3)

в) – Назовите обратную операцию. (Заменить произведение суммой.)

– Замените произведение суммой в выражениях: 99 2. 8 4. Ь 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b) . Слайд 4.

г) На доске записаны равенства:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Рядом с каждым равенством помещаются картинки.

– Зверюшки лесной школы выполняли задание. Правильно ли они его выполнили?

Дети устанавливают, что слон, тигр, заяц и белка ошиблись, объясняют, в чем их ошибки. Слайд 5.

д) Сравните выражения:

8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
а 3... а 2 + а

(8 5 = 5 8, так как от перестановки слагаемых сумма не изменяется;
5 6 > 3 6, так как слева и справа по 6 слагаемых, но слева слагаемые больше;
34 9 > 31 2. так как слева слагаемых больше и сами слагаемые больше;
а 3 = а 2 + а, так как слева и справа по 3 слагаемых, равных а.)

– Какое свойство умножения использовали в первом примере? (Переместительное.) Слайд 6.

2.3. Постановка проблемы. Целеполагание.

Верны ли равенства? Почему? (Верны, так как сумма 5 + 5 + 5 = 15. потом в сумме становится на одно слагаемое 5 больше, и сумма увеличивается на 5.)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Продолжите эту закономерность направо. (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
– Продолжите ее теперь налево. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
– А что означает выражение 5 1? 5 0? (? Проблема!)

Итог обсуждения:

Однако выражения 5 1 и 5 0 не имеют смысла. Мы можем условиться считать эти равенства верными. Но для этого надо проверить, не нарушим ли мы переместительное свойство умножения.

Итак, цель нашего урока – установить, сможем ли мы считать равенства 5 1 = 5 и 5 0 = 0 верными?

– Проблема урока! Слайд 7.

3. “Открытие” детьми нового знания.

а) – Выполните действия: 1 7, 1 4, 1 5.

Дети решают примеры с комментированием в тетради и на доске:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

– Сделайте вывод: 1 а – ? (1 а = а.) Выставляется карточка: 1 а = а

б) – Имеют ли смысл выражения 7 1, 4 1, 5 1? Почему? (Нет, так как в сумме не может быть одно слагаемое.)

– Чему они должны быть равны, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения? (7 1 тоже должно быть равно 7, поэтому 7 1 = 7.)

Аналогично рассматриваются 4 1 = 4; 5 1 = 5.

– Сделайте вывод: а 1 = ? (а 1 = а.)

Выставляется карточка: а 1 = а. Накладывается первая карточка на вторую: а 1 = 1 а = а.

– Совпадает наш вывод с тем, что у нас получилось на числовом луче? (Да.)
– Переведите это равенство на русский язык. (При умножении числа на 1 или 1 на число получается то же самое число.)
– Молодцы! Итак, будем считать: а 1 = 1 а = а. Слайд 8.

2) Аналогично исследуется случай умножения с 0. Вывод:

– при умножении числа на 0 или 0 на число получается нуль: а 0 = 0 а = 0. Слайд 9.
– Сравните оба равенства: что вам напоминают 0 и 1?

Дети высказывают свои версии. Можно обратить их внимание на образы:

1 – “зеркальце”, 0 – “страшный зверь” или “шапка-невидимка”.

Молодцы! Итак, при умножении на 1 получается то же самое число (1 – “зеркальце”) , а при умножении на 0 получается 0 (0 – “шапка-невидимка”).

4. Физкультминутка (для глаз – “круг”, “вверх – вниз”, для рук – “замок”, “кулачки”).

5. Первичное закрепление.

На доске записаны примеры:

23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =

Дети решают их в тетради и на доске с проговариванием в громкой речи полученных правил, например:

3 1 = 3, так как при умножении числа на 1 получается то же самое число (1 – “зеркальце”), и т.д.

а) 145 х = 145; б) х 437 = 437.

– При умножении 145 на неизвестное число получилось 145. Значит, умножали на 1 х = 1. И т.д.

a) 8 x = 0; б) х 1= 0.

– При умножении 8 на неизвестное число получился 0. Значит, умножали на 0 х = 0. И т.д.

6. Самостоятельная работа с проверкой в классе . Слайд 10.

Дети самостоятельно решают записанные примеры. Затем по готовому

образцу проверяют свои ответы с проговариванием в громкой речи, отмечают правильно решенные примеры плюсом, исправляют допущенные ошибки. Те, кто допустил ошибки, получают аналогичное задание на карточке и дорабатывают индивидуально, пока класс решает задачи на повторение.

7. Задачи на повторение. (Работа в парах). Слайд 11.

а) – Хотите узнать что вас ждет в будущем? Вы это узнаете, расшифровав запись:

г – 49:7 о – 9 8 н – 9 9 в – 45:5 й – 6 6 д – 7 8 ы – 24:3


81	72	5	8	36	7	72	56

–Так что же нас ждет? (Новый год.)

б) – “Я задумала число, вычла из него 7, прибавила 15, потом прибавила 4 и получила 45. Какое число я задумала?”

Обратные операции надо делать в обратном порядке: 45 – 4 – 15 + 7 = 31.

8. Итог урока. Слайд 12.

С какими новыми правилами познакомились?
Что понравилось? Что было трудно?
Можно ли применить эти знания в жизни?
На полях можно выразить свое настроение в конце урока.
Заполните таблицу самооценки:

Хочу знать больше
Хорошо, но могу лучше
Пока испытываю трудности

Спасибо за работу, вы хорошо потрудились!

9. Домашнее задание

С. 72–73 Правило, № 6.

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Рассмотрим пример умножения на ноль целого числа. Сколько будет, если 2 (два) умножить на 0 (ноль)? Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. И не важно, известно нам это число, или не известно.

Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых. Пять умножить на ноль — равняется нулю 5 х 0 = 0 Правило умножения на ноль смотрите выше по тексту. Чатыри умножить на ноль бесплатно — бесплатно отвечаю, что будет ноль. В нагрузку бесплатная справка — слово «четыре» пишется чуть-чуть иначе, чем пишите вы в своем поисковом запросе.

https://youtu.be/EGpr23Tc8iY

Там, где в математике встречается ноль, логика бессильна

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами. Оно появилось в комментариях и чем-то меня зацепило. Вопрос Студента: А теперь, уважаемый автор, умножьте, пожалуйста, ноль на ноль и скажите, сколько получится в результате?

Я в своей статье «Что есть ноль» уже объяснил где её можно применять. Нужно просто брать те ответы, которые пишут в учебниках: ноль, умноженный на ноль, равняется нулю; на ноль делить запрещено. Из всех обозримых вариантов умножения и деления на ноль ученые неучи выбрали самый приемлемый и удобоваримый вариант.

С делением на ноль у меня лично никаких проблем нет. Про связь между формулой Герона и 0/0=1 слышу впервые. Однако есть что-то нечистое в математике. Проблемы с возведением нуля в нулевую и отрицательную степень. Но с таким же успехом можно сказать, что 0^2 тоже не имеет смысла, потому как 0^2=0^5/0^3=0/0, а на ноль делить нельзя.

Ноль в нулевой степени — выражение, не имеющее смысла. Ноль в нулевой степени равняется единице — так показывают формулы. Это количество чего угодно, каких-то реальных, материальных вещей, можно умножить на число. При этом количество чего-то выражается только нулем или положительным числом.

Все в единицах и в математике на данном уровне в порядке. Это условность, градусы не могут быть выражены количеством, поэтому умножить их на число нельзя. Где-то на этом сайте есть Дурнев со своими вопросами по школьной программе, в том числе и по математике. Может, его придумали точно так же, как и ноль? Чтобы наложить определенные правила и подчинить им всех остальных людей. Чего только человек не сделает ради себя, любимого.

Достаточно того, что в учебниках часто пишут «принадлежит множеству натуральных чисел» даже тогда, когда это выполняется для всех чисел, за исключением комплексных. Бесконечное число нулей в нуле — это выдумки шаманов для пещерных людей:) Если закрыть глаза, то всё, на что мы смотрим, будет выглядеть одинаково черным. Умножение на ноль нужно начинать рассматривать совсем с другого конца. Что такое умножение?

Достаточно понять, что такое умножение, тогда вопрос с результатом умножения на ноль сам собою решится. 2 яблока, и пытаясь умножить их на 0 яблок, в результате мы теряет свои 2 яблока. Судя по всему, те, кто это спрашивает, потеряли как минимум по одной цифре в начале каждого числа. 10 и 11 — здесь уместно говорить о процентах.

И интересно как при делении 0 на любое число вы это число сможете вычитать вообще (пусть даже и ноль раз)..

Не может так просто от умножения стать ноль! Значит математика это не точная наука? Кто то когда то придумал это «правило» не известно для чего. Ваша математика ошибается. На практике, вся эта математическая тема с умножением на 0, не может быть!!! Как 10 чего-нибудь желая приумножить, пусть даже на 0 — получится 0?? Если конечно 0 не является черная дыра, или 0 как проиграшь, в никуда, ноль — как пустота, ничто, но такого быть не может….

Если не можете что то разделить (те же 5 яблок на 0 воображаемых корзин) то записывается результат целого числа и остаток при таком делении… 0 можно умножать многократно (типа ходил в лес 15 раз и не нашел грибов…

Например, делим 5 яблок на ноль человек; вычисляем,во сколько раз 5 градусов Цельсия больше нуля градусов Цельсия. Из этого всего скорее нельзя умножать на 0 (так как по определению умножения это НЕЛЬЗЯ записать с помощью операции сложения) и делить сам 0 на что то… так как ответ не может быть определен…

Подмена понятий происходит при самом умножении на ноль… Запомните любое число или операция с числами умноженное на ноль АННИГИЛИРУЕТСЯ… Иными словами не происходит самой операции при умножении на ноль и ее можно просто «не учитывать»… Так, вы украли мою идею!))) Впервые встречаю более-менее четкое понимание умножения и деления на ноль. Будем мы это считать математическими операциями, или не будем — математике глубоко плевать.

Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

При каких значениях икса верно равенство: ноль умноженное на икс равняется ноль? — данное равенство верно при любых значениях икс. Говорят, что это равенство имеет бесконечное множество решений. С математикой было несколько проще. Самым естественным образом на мою природную безграмотность накладываются банальные опечатки при наборе текста.

Я противник тех проповедей, которые читают нам математики и на которые мы все))) ссылаемся. С этим уравнением была совсем друга история. Может такое быть или не может? Немного подумав, я «провел мысленный эксперимент»))) и представил эту ситуацию. Где-то в черновиках валяются все выкладки по этому поводу. Вы лукавите То что не принято в широких кругах, не обязательно является не правдой.

Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Кто сказал, что ноль — это число? Математики? 0 + 5/0… ноль и пять (нулевых) в остатке … и тогда все сходится и все довольны… Да на самом деле сложностей не так много. Проблема в том как воспринимать Ноль (как число или как нечто пустое) и что подразумевать под умножением…

Если мы можем полагаться на другие законы арифметики, то этот отдельный факт можно доказать.

Предположим, что есть число x, для которого x * 0 = x", причём x" -- это не нуль (будем для простоты считать, что x" > 0)

Тогда, с одной стороны, x * 0 = x", с другой стороны x * 0 = x * (1 - 1) = x - x

Получается, что x - x = x", откуда x = x + x", то есть x > x, что не может быть правдой.

Значит, наше предположение ведёт к противоречию и нет такого числа x, для которого x * 0 не было бы равно нулю.

предположение не может быть правдой потому что это всего лишь предположение! ни кто простым языком не может объяснить или затрудняется! если 0 * х= 0 то 0 *х=(0+0)*х=0*х + 0*х и в итоге сократили право лево 0=0*х это типо доказуха математическая! но чушь такая с этим нулем жутко противоречит и по моему мнению 0 не должен являться числом, а лишь только абстрактным понятием! Дабы простым смертным не вызывало жжение в мозгу тот факт что физическое наличие предметов при чудесном умножении на ничто порождало ничто!

P/s не совсем понятно мне не математику, а простому смертному откуда у тебя в уравнении-рассуждении появились единицы (типо 0 это тоже самое что и 1-1)

я балдею с рассуждений типо есть какой то Х и пусть он будет числом любым

есть в уравнении 0 и при умножении на него мы обнуляем все числовые значения

следовательно Х это числовое значение, а 0 это кол-во действий проделанных над числом Х (а действия в свою очередь тоже отображаются в числовом формате)

ПРИМЕР на яблочках)) :

было у Коли 5 яблок, взял он эти яблочки и на базар пошёл дабы капитал приумножить, да день оказался дождливый, пасмурный торговля не задалась и вернулся Калёк домой ни с чем. Математическим языком история про Колю и яблоки выглядит так

5 яблок * 0 продаж = получили 0 прибыли 5*0=0

Перед тем как пойти на базар Коля пошёл и сорвал с дерева 5 яблок, а завтра пошел срывать да не дошёл по каким то там своим причинам...

Яблок 5 , дерево 1 , 5*1=5 (5 яблок Коля собрал в 1й день)

Яблок 0 , дерево 1 , 0*1=0 (собственно результат труда Коли на день второй)

Бичом математики являться слово "Предположим"

Ответить

А если по другому, 5 яблок на 0 яблок = сколько яблок, по математике должно быть ноль, так вот

На самом деле любые цифры имеют смысл лишь тогда, когда они связаны с материальными предметами, типа 1 корова, 2 коровы ну или что угодно, и появился счёт для того, чтобы считать предметы а не просто так и тут парадокс, если у меня нет коровы, а у соседа есть корова, и мы умножим моё отсутствие на корову соседа, то его корова должна исчезнуть, умножение вообще придумано для облегчения сложения больших количеств одинаковых предметов, когда их тяжело посчитать методом сложения, например деньги складывали в столбики по 10 монет, а затем количество столбиков умножали на количество монет в столбике, намного проще чем складывать. но если количество столбиков помножить на ноль монет то естественно получится ноль, но если есть и столбики и монеты, то как их не умножай на ноль, монеты никуда не денутся ибо их есть, и даже если это одна монета, то и столбик есть состоящий из одной монеты, так что тут никуда не денешься, так вот ноль при умножении на ноль получается только при определённых условиях, то есть при отсутствии материальной составляющей, а если у меня есть 2 носка, т как их не умножай на ноль, они никуда не денутся.

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (489,5 кБ)

Ввести частные случаи умножения с 0 и 1.
Закрепить смысл умножения и переместительное свойство умножения, отрабатывать вычислительные навыки.
Развивать внимание, память, мыслительные операции, речь, творческие способности, интерес к математике.

Оборудование: Слайдовая презентация: Приложение1.

1. Организационный момент.

Физкультминутка (“Мозговая гимнастика”, “Шапка для размышления”, на дыхание).

2. Постановка учебной задачи.

2.1. Задания на развитие внимания.

На доске и на столе у детей двухцветная картинка с числами:

– Что интересного в записанных числах? (Записаны разными цветами; все “красные” числа – четные, а “синие” – нечетные.)
– Какое число лишнее? (10 – круглое, а остальные нет; 10 – двузначное, а остальные однозначные; 5 – повторяется два раза, а остальные – по одному.)
– Закрою число 10. Есть ли лишнее среди остальных чисел? (3 – у него нет пары до 10, а у остальных есть.)
– Найдите сумму всех “красных” чисел и запишите ее в красном квадрате. (30.)
– Найдите сумму всех “синих” чисел и запишите ее в синем квадрате. (23.)
– На сколько 30 больше, чем 23? (На 7.)
– На сколько 23 меньше, чем 30? (Тоже на 7.)
– Каким действием искали? (Вычитанием.) Слайд 3.

2.2. Задания на развитие памяти и речи. Актуализация знаний.

Запишите определение умножения.

б) – Рассмотрите записи. Какое задание будете выполнять?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
а + а + а

(Заменить сумму произведением.)

в) – Назовите обратную операцию. (Заменить произведение суммой.)

– Замените произведение суммой в выражениях: 99 2. 8 4. Ь 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b) . Слайд 4.

г) На доске записаны равенства:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Рядом с каждым равенством помещаются картинки.

– Зверюшки лесной школы выполняли задание. Правильно ли они его выполнили?

Дети устанавливают, что слон, тигр, заяц и белка ошиблись, объясняют, в чем их ошибки. Слайд 5.

д) Сравните выражения:

8 5. 5 8
5 6. 3 6
34 9… 31 2
а 3. а 2 + а

– Какое свойство умножения использовали в первом примере? (Переместительное.) Слайд 6.

2.3. Постановка проблемы. Целеполагание.

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Продолжите эту закономерность направо. (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
– Продолжите ее теперь налево. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
– А что означает выражение 5 1? 5 0? (? Проблема!)

Итак, цель нашего урока – установить, сможем ли мы считать равенства 5 1 = 5 и 5 0 = 0 верными?

– Проблема урока! Слайд 7.

3. “Открытие” детьми нового знания.

а) – Выполните действия: 1 7, 1 4, 1 5.

Дети решают примеры с комментированием в тетради и на доске:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

– Сделайте вывод: 1 а – ? (1 а = а.) Выставляется карточка: 1 а = а

б) – Имеют ли смысл выражения 7 1, 4 1, 5 1? Почему? (Нет, так как в сумме не может быть одно слагаемое.)

Аналогично рассматриваются 4 1 = 4; 5 1 = 5.

– Сделайте вывод: а 1 = ? (а 1 = а.)

Выставляется карточка: а 1 = а. Накладывается первая карточка на вторую: а 1 = 1 а = а.

2) Аналогично исследуется случай умножения с 0. Вывод:

Дети высказывают свои версии. Можно обратить их внимание на образы:

1 – “зеркальце”, 0 – “страшный зверь” или “шапка-невидимка”.

4. Физкультминутка (для глаз – “круг”, “вверх – вниз”, для рук – “замок”, “кулачки”).

5. Первичное закрепление.

На доске записаны примеры:

Дети решают их в тетради и на доске с проговариванием в громкой речи полученных правил, например:

3 1 = 3, так как при умножении числа на 1 получается то же самое число (1 – “зеркальце”), и т.д.

а) 145 х = 145; б) х 437 = 437.

– При умножении 145 на неизвестное число получилось 145. Значит, умножали на 1 х = 1. И т.д.

– При умножении 8 на неизвестное число получился 0. Значит, умножали на 0 х = 0. И т.д.

6. Самостоятельная работа с проверкой в классе . Слайд 10.

Дети самостоятельно решают записанные примеры. Затем по готовому

7. Задачи на повторение. (Работа в парах). Слайд 11.

а) – Хотите узнать что вас ждет в будущем? Вы это узнаете, расшифровав запись:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Умножение на 1 и 0 правило

Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие «натуральные числа» — это искусственное отделение некоторых чисел от всех остальных чисел по определённым признакам, то математического доказательства натуральности или не натуральности нуля быть не может. Ноль считается нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.

Ноль считается целым, беззнаковым числом. Также ноль считается чётным числом, поскольку при делении нуля на 2 получается целое число ноль .

Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных системах счисления, к которым принадлежит привычная нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного разряда при записи числа. Индейцы майя использовали ноль в принятой у них двенадцатиричной системе счисления за тысячу лет до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики.

Слово «ноль » в арабском языке звучит как «сыфр». От арабского слова ноль (сыфр) произошло слово «цифра».

Как правильно пишется — ноль или нуль ? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило, ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль — в терминологии, в научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова. Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.

В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так: нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже встречающееся нолевой, ноль-ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю. Нулевой мередиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль-ноль.

В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены следующие результаты:

сложение — если к любому числу прибавить ноль , число останется неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения будет то же самое любое число:

вычитание — если из любого числа вычесть ноль , число останется неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же самое любое число с противоположным знаком:

умножение — если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль; если ноль умножить на любое число в результате получится ноль :

деление — деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует; общепринятый взгляд на проблему деления на ноль изложен в работе Александра Сергеева «Почему нельзя делить на ноль? » ; для любознательных написана другая статья, в которой рассматривается возможность деления на ноль:

a: 0 = делить на ноль запрещено , при этом а не равно нулю

ноль разделить на ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено:

0: 0 = выражение не имеет смысла

ноль разделить на число — если ноль разделить на число в результате всегда будет ноль , не зависимо от того, какое число находится в знаменателе (исключением из этого правила является число ноль , смотри выше):

0: a = 0 , при этом а не равно нулю

ноль в степени — ноль в любой степени равен нулю :

0 a = 0 , при этом а не равно нулю

возведение в степень — любое число в степени ноль равняется единице (число в степени 0):

a 0 = 1 , при этом а не равно нулю

ноль в степени ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0):

0 0 = выражение не имеет смысла

извлечение корня — корень любой степени из нуля равен нулю :

0 1/a = 0 , при этом а не равно нулю

факториал — факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице:

распределение цифр — при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит получать более точные результаты распределения цифр во всех стандартных системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления.

Кому интересен вопрос возникновения нуля , предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

Теперь маленький кусочек рекламы.Главная фильтры для воды помогут очистить воду и сделать её более безопасной для питья. Качество водопроводной воды сегодня не отвечает требованиям безопасности для здоровья человека. Применение фильтров для воды становится потребностью в каждом доме.

Создание сайта цены, изготовление сайта Москва. Создание и изготовление сайта пр. Мира. поможет вам обрести свое представительство в виртуальном мире. Красивые и функциональные сайты для самых разных нужд, создание сайта под ваши потребности.

Специальный проект «45 минут» организовывает постоянные конкурсы для педагогов по разным учебным дисциплинам. Создание собственных страничек, портфолио учителей, обмен педагогическим опытом, подготовка к экзаменам.

ndspaces.narod.ru

Как умножить на 0,1

Разберем правило и посмотрим на примерах, как умножить на 0,1 любое число.

Поэтому умножение числа на 0,1 можно заменить его делением на 10. В общем виде это можно записать так:

Отсюда следует правило.

Правило умножения на 0,1

Чтобы умножить число на 0,1, надо запятую в записи этого числа перенести на одну цифру влево.

В записи натурального числа запятую в конце не пишут:

Умножить натуральное число на 0,1 -значит, перенести эту запятую на один знак влево:

Если в записи натурального числа последняя цифра - нуль, в результате умножения этого числа на 0,1 получаем натуральное число (поскольку нуль после запятой в конце числа не пишут):

Чтобы умножить на 0,1 обыкновенную дробь, надо обе дроби привести к одному виду - либо обыкновенную дробь перевести в десятичную, либо десятичную - в обыкновенную.

www.for6cl.uznateshe.ru

Правило умножения любого числа на ноль

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , – но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Это интересно: разрядные слагаемые – что это?

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу - оно нелогично, хоть и имеет обратную цель - призвать к логике.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение - это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение - это упрощённое сложение .

Это интересно: что такое хорда окружности в геометрии, определение и свойства.

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль - это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе - они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения - это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же - ноль.

Это интересно: что такое модуль числа?

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз - это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути - выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль - это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай - всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание - неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль – это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

obrazovanie.guru

Умножение с 0 и 1. 2-й класс

Презентация к уроку

Цели урока:

Образовательные :
- формировать умение выполнять умножение с нулем и единицей;
- формировать умение правильно читать математические выражения, называть компоненты умножения;
- закрепить умение заменять произведение чисел суммой и устно вычислять их значение; формировать начальные умения работы с тестом.
Развивающие :
- способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.
Воспитательные:
- воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе; интерес к предмету.

Тип урока – урок открытия нового знания.

Формирование новых умений возможно только в деятельности, поэтому в разработке урока использована технология деятельностного метода. Использование данной технологии является существенным фактором повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования учебных универсальных действий: регулятивных, коммуникативных, познавательных .

Разработанный урок имеет следующую структуру:

1. Приобретение первичного опыта выполнения действия и мотивация.
2. Формирование нового способа (алгоритма) действия, установление первичных связей с имеющимися способами.
3. Тренинг, уточнение связей, самоконтроль и коррекция.
4. Контроль.

Оборудование к уроку:

Стандартное: учебник, таблица для заполнения ответов теста, звездочки из цветной бумаги, памятки для учащихся.
Инновационное: мультимедийный проектор, интерактивная доска, мультимедийная презентация «Путешествие на планету Умножения»

Использование мультимедиа компонентов в уроке вносит элемент новизны, делает процесс работы наглядным, помогает учителю сконцентрировать внимание на основных моментах. Работа по каждому этапу урока строится как своеобразный диалог между учителем и учениками, в котором интерактивная доска служит демонстратором решения вопросов. Её использование в учебном процессе позволяет достигать высокой степени результативности.